数列{an}是首项为a,公比也是a的等比数列,令bn=anlg(a^n)
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/16 07:59:04
(1)不考虑a<0的情况
当0<a<1时,an=a^n,bn=na^nlga,故
Sn=b1+b2+b3+...+bn
=1a^1lga+2a^2lga+3a^3lga+...+na^nlga
aSn=a^2lga+2a^3lga+3a^4lga+...+na^(n+1)lga
Sn-aSn=alga-na^(n+1)lga
Sn=lga[a-na^(n+1)]/(1-a)
当a>1时,an=a^n,bn=na^nlga,故
Sn=b1+b2+b3+...+bn
=1a^1lga+2a^2lga+3a^3lga+...+na^nlga
aSn=a^2lga+2a^3lga+3a^4lga+...+na^(n+1)lga
Sn-aSn=alga-na^(n+1)lga
Sn=lga[a-na^(n+1)]/(1-a)
当a=1时,bn=0,故Sn=b1+b2+b3+...+bn=0
所以,当0<a<1或a>1时得Sn=lga[a-na^(n+1)]/(1-a)
当a=1时得Sn=0
(2)由(1)得,bn=na^nlga
若0<a<1,要使bn<bn+1,只要na^n>(n+1)a^(n+1)
此时,0<a<n/(n+1)在n属于自然数成立
若a=1,bn=1对于bn<bn+1不成立,舍去
若a>1,要使bn<bn+1,只要na^n<(n+1)a^(n+1)
此时,a>n/(n+1)在n属于自然数成立,取a>1
综上所述,要使数列{bn}中的每一项总小于它后面的项,a的取值范围应为{0<a<n/(n+1)并a>1}
当a=1时Sn=n,当a不等于1时,用等比数列求和公式得,Sn=a-a^n+1/1-a。2)当a>1时,an显然<an+1,当0<a<1,an<an-1,当a<0,由于偶数时为正,奇数时为负,固不成立!